激光的产生原理 -原子跃迁的爱因斯坦理论

这几天在做激光相关的仿真，就从头学了一下激光原理，参考了固体激光原理和厦门大学的MOOC，整理了一下相关的知识要点，个人计划是把相关的推导都梳理一遍，整组博文更新时间可能较长。下面是第一部分，激光的产生原理相关的内容。

一.原子跃迁的爱因斯坦理论

根据量子理论，原子的能级是分立的，我们首先考虑最简单的情况，一堆具有两个能级的相同原子，表示为$E_1,E_2$，相应单位体积内处于两能级的原子数分别为$N_1,N_2$，$E_2$能级与$E_1$能级的能量差为$h\nu$，

$E_2-E_1 = h\nu\tag 1$

假设这堆原子都处在一个封闭的系统中，那么无论原子的能级变化，处于两个能级间的原子的数量之和应该是不变的

$N_1+N_2=N_{total}\tag 2$

爱因斯坦考虑原子相互作用的量子理论并考虑辐射的观点，指出这种相互作用应该包含原子的自发跃迁，受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三个过程，并提出与之对应的爱因斯坦系数$A_{21},B_{12}和B_{21}$

1.1自发跃迁

自发跃迁是高能级的原子自发的向低能级跃迁，这个过程依赖的是原子的固有属性，和原子所处的辐射场无关。

我们定义自发跃迁的概率$A_{21}$为单位时间、单位体积中出于高能级的$N_2$个原子中，自发跃迁的原子与$N_2$的比值

$A_{21} = (\frac{dN_{21}}{dt})_{sp}\frac{1}{N_2}\tag 3$

${sp}表示自发 (spontaneous)$

其中$(dN_{21})_{sp}$是单位体积内，在时间元$dt$由于自发跃迁引起的，由高能级向低能级跃迁的原子数。

如果我们认为，导致高能级原子数量变化的原因只有自发跃迁，那么单位时间，单位体积内，高能级减少的粒子数为：

$\frac{dN_2}{dt}=-\frac{dN_{21}}{dt} \tag 4$

自发跃迁的速率与上能级$E_2$的粒子数$N_2$成正比：

由$(3)(4)$两式，可得：

$\frac{dN_2}{dt} = -A_{21}N_2 \tag 5$

自发跃迁是一个空间与时间的统计函数，对于大量的受激原子，各个发射过程之间没有相位关系，发射的量子也是不相干的。

解方程$(5)$，可得解

$N_2(t) = N_2(0)exp\{-tA_{21}\}\tag 6$

我们也可以用受激态电子的平均寿命，来表征自发跃迁，能级$E_2$的自发辐射寿命$\tau_{21}$为自发跃迁的爱因斯坦系数$A_{21}$的倒数：

$\tau_{21} = A_{21}^{-1} \tag 7$

至于为什么是倒数关系，我并不是很清楚，许多课本中也没给出明确的解释，个人猜测是统计力学得到的结果，等补完统计力学的内容以后可能会再更新该部分内容

1.2 受激吸收跃迁

爱因斯坦认为必然存在原子在辐射场作用下受激跃迁的过程，（注意受激跃迁包括了受激发射和受激吸收两个过程）因为如果黑体原子和辐射场相互作用只有上述过程，显然腔内辐射场不稳定（个人理解是只出不进？待稍后查阅一些物理性更强的激光教材） 处于能级$E_1$的原子，在辐射场的激励下，吸收一个光子，向$E_2$跃迁，这叫做受激吸收跃迁，其概率可以用$W_{12}$表示，注意，若设两能级间的能隙为$h\nu_{21}$,则以下公式中的频率的能量密度$\rho_{\nu}$限定为$\nu_{21}$，与其他频率无关。：

$W_{12}=(\frac{dN_{12}}{dt})_{st}\frac{1}{N_1} \tag 8$

${st}表示受激(stimulated)$

与1.1节相同，$(dN_{12})_{st}$是单位体积内在$dt$时间元由于受激跃迁引起的，由低能级向高能级跃迁的原子数。受激吸收跃迁与辐射场的关系为：

$W_{12} = B_{12}\rho_{\nu} \tag 9$

注意，该关系式是唯象的。 其中$B_{12}$就是受激吸收跃迁的爱因斯坦系数，只与原子性质有关。所以受激吸收跃迁同时受到原子固有属性和辐射场中能量等于能隙的电磁波态密度的影响。

1.3 受激辐射跃迁

受激吸收跃迁的逆过程就是受激辐射跃迁。在辐射激励下，位于高能级$E_2$的原子也会向低能级$E_1$跃迁，产生和辐射激励相位、方向和频率完全相同的光子，这些光子又去激励更多的高能级原子，通过这种链式反应，我们就得到了具有高度相干性的激光。至于为什么会产生受激辐射跃迁？有一种解释是辐射激励与高能级原子形成偶极子振荡的结果，这个还需要查阅物理性强的资料。 与1.2节同理，我们有如下关系：

$W_{21} = (\frac{dN_{21}}{dt})_{st}\frac{1}{N_2} \tag {10}$

$W_{21} = B_{21}\rho_{\nu} \tag{11}$

其中$B_{21}$为受激辐射跃迁的爱因斯坦系数，只与原子性质有关。

那么，如何建立这三个过程之间的数量联系呢？

1.4 黑体辐射与玻尔兹曼统计

爱因斯坦提出的受激辐射概念结合了普朗克定律和玻尔兹曼统计，在建立爱因斯坦系数之间的数量关系之前，需要先补充黑体辐射和玻尔兹曼统计的相关公式。

描述黑体辐射的普朗克公式：

$\rho_\nu d\nu=\frac{8\pi\nu^2d\nu}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1} \tag {12}$

其中，单位体积和单位间隔的态密度：

$\frac{8\pi\nu^2}{c^3}=\rho_{\nu} \tag{13}$

关于态密度的详细推导，先在这里占个位置

根据统计力学的基本原理，当大量原子在温度$T$处处于热平衡状态时，任何两个能级$E_1$和$E_2$的相关粒子数一定与玻尔兹曼比值有关，我们有如下关系式：

$\frac{N_2}{N_1}=\frac{f_2}{f_1}exp[\frac{E_2-E_1}{kT}] \tag{14}$

其中$f_2,f_1$是两个能几个字的统计权重。（统计权重待补充）

若能隙足够大，该比值接近于0。因而在热平衡时，几乎所有原子都位于基能级。典型的如室温下的红宝石晶体，两能级之比$\frac{N_2}{N_1}\approx exp(-69).$

1.5 爱因斯坦系数

对于一个空腔黑体，当其处于温度$T$时，其热平衡状态应该是以上三种跃迁的结果。腔内的热平衡黑体辐射由普朗克公式给出，腔内物质原子数按照能级分布，应该满足热平衡时的玻尔兹曼分布。

在热平衡中，单位时间内从$E_2$跳到$E_1$的原子数应该和从$E_1$跳到$E_2$的原子数相等。如果我们只考虑$E_2$能级，在热平衡时，原子数的进出数量应该相同，有

$\frac{dN_{21}}{dt}=\frac{dN_{12}}{dt} \tag{15}$

我们知道辐射跃迁包括受激辐射跃迁和自发跃迁两部分：

$\frac{dN_{21}}{dt}=(\frac{dN_{21}}{dt})_{sp}+(\frac{dN_{21}}{dt})_{st} \tag{16}$

结合公式$(5)(10)(11)$，有

$\frac{dN_{21}}{dt}=B_{21}\rho_{\nu}N_2+A_{21}N_2 \tag{17}$

由公式$(8)(9)$，有

$\frac{dN_{12}}{dt}=B_{12}\rho_{\nu}N_2 \tag{18}$

即

$N_2A_{21}+N_2B_{21}\rho_{\nu}=N_1B_{12}\rho_{\nu} \tag {19}$

上式和玻尔兹曼分布带入普朗克公式$(12)$，有

$\frac{c^3}{8\pi h\nu^3}(e^{\frac{h\nu}{kT}}-1)=\frac{B_{21}}{A_{21}}(\frac{B_{12}f_1}{B_{21}f_2}e^{\frac{h\nu}{kT}}-1) \tag{20}$

（推导时，注意等式右边为$\rho_{\nu}^{-1}$）

当$T\to\infin$时，上式应该仍然成立，于是（等价无穷小量）有：

$B_{12}f_1=B_{21}f_2 \tag{21}$

把上式代回$(20)$，有

$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \tag{22}$

以上两式即为最后导出的爱因斯坦系数基本关系。 如果两统计权重相等，即$f_1=f_2$，还有：

$B_{21}=B_{12} \tag{23}$

$W_{12} = W_{21} \tag{24}$

虽然推导爱因斯坦系数的关系式时，用到了热平衡，但是用量子电动力学的方法依然可以得到相同的结果，然而并不会量子电动力学。